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從上面的推導過程我們可以看出，振型分解就是將質點的水平運動在一個新的廣義基上度量，將本來三個質點三個水平方向上的自由度轉換為在三個振型方向上的自由度，每個振型將三個孤立的質量聯系到了一起，這樣的轉換有什么好處呢？解釋這個問題這需要用到振型關于質量矩陣和剛度矩陣的正交性原理。振型正交性的表達式為：當時，式中K與M為矩陣形式，它的物理意義可以用三維空間坐標系來類比說明，如下圖：

運動在空間中可以分解到x、y、z三個自由度方向，外力也可以在同一坐標系下分解，每個方向的力只引起相應方向的運動，當運動以振型形狀為坐標進行分解時，作用于每個質點上的動力也向由振型變換的某個向量上分解，由上節(jié)所述，在此向量上剛度矩陣與質量矩陣的比值為一常數特征值，此時每個振型方向的外力只引起相應振型的運動，對其它振型的影響為0。因此我們可以仿效三維空間下運動的求解思路，將位移與外力進行分解，從而可以實現各振型之間的解耦，把三個聯立微分方程拆分為3個獨立的微分方程，使求解大大簡化。

現在把有阻尼和外力的完整的多自由度微分方程寫出如下，為了表達方便，將矩陣和向量用粗體字母表示：式中地震振動已經寫成等效慣性力的形式，將位移按振型分解，，將其代入上式，得：上式左右各乘以，利用振型的正交性，消去正交項，得：，設，叫做第n振型的模態(tài)質量，兩邊同除以，利用單自由度體系，，可化簡為

得，設為，即為抗規(guī)5.2.2條中的振型參與系數。

我們還可以直接將振動與外力都分解到各振型上直接計算，位移分解方法前面已經得到，現在推導外力的分解方法。地震力的分布我們已經知道，如下圖所示：

外部動力的特點是隨時間變化的部分在各質點上是相同的，不同的是前面的系數部分、、，我們把它寫成向量形式因為質點上的慣性力、阻尼力與回復力都和質量與位移的函數成正比，對質點上的慣性力進行分解時，需要將這個向量向以質量矩陣與振型向量之積構成的廣義基上分解

即將質量向量寫成

寫成字母的形式為：

兩邊同乘以，，得，，，得，，

這樣就將向量拆分為、，三個分量。

將位移與慣性力均在振型n上展開，得：

，兩邊同乘，得：

從而可以得出和前面推導相同的結論。這樣我們就實現了將三個耦連的由位移表示的方程，按照振型，拆分成了三個獨立的方程，眾所周知，n個獨立方程求解速度比n個耦連方程要快的多，從而大大加快了求解速度。

當我們思考事物的聯系時，很多道理是相通的

下面我們來計算上面三自由度體系的地震內力。前面我們已經求出振型、頻率如下：

我們首先求出第一振型的地震力分布：

根據按照同樣思路，我們可以求出振型2和振型3的振型參與系數與地震力分布

至此我們就求出了各振型在每個質點上的地震力分布（即任一時刻地震力大小的相對值），分布形式與振型的形狀相同，如下圖所示：

略去計算誤差，每個質點上的三個力的代數和都等于1，即等于總的地震力分布。每個振型分配在每個節(jié)點上的動力為上圖中的數值與之積，也就是在任一時刻，某個振型不同質點上作用的動力隨時間的變化關系是相同的，唯一不同的是幅值。

我們將多自由度在各振型上的振動方程和單自由度運動方程對比：

可以看出，，因為單質點的動力計算是最簡單的，所以我們可以先計算出單質點的位移，就可以求出第n振型的振型位移，再根據位移與振型位移的關系可求出第n振型對位移的貢獻。至此我們就由單自由度的位移結果求出了各振型的位移結果，然后在任一時刻將各振型的結果簡單疊加就可以得到每個質點的位移，再進行一階與二階求導就可以求各質點的速度與加速度。

參考文獻：

1. 結構動力學—理論及其在地震工程中的應用（第四版） Anil K. Chopra

2. 結構動力學（第二版） R. Clough

來源：結構茶館